플로리다의 프로그래머 라즐로 하녜츠가 파파존스 피자 두 판 값으로 10,000 BTC — 당시 약 $41어치 — 를 보냈다.
16년 뒤, 그 10,000 BTC는 약 $10억짜리가 됐다. 역사상 가장 비싼 식사다. 자, 그렇다면: $41이 16년 만에 $10억이 되려면 *연 몇 %*가 있어야 할까? 라즐로의 저녁이 처음 $100만짜리가 된 건 언제였을까? 그리고 — 결정타 — 같은 속도가 이어지면 2046년엔 얼마가 될까?
이 세 가지 없이는 어떤 질문에도 답할 수 없다:
얼마? — 피자를 미래로 보내기
def future_value(P, r, t):
return P * (1 + r) ** t
future_value(41, 1.89, 16) # ≈ 1.0e9 (Laszlo today)
future_value(1e9, 1.89, 20) # ≈ 1.7e18 (BTC in 2046, if it keeps pace)언제까지? — 피자가 \$100만이 된 건 언제?
질문을 뒤집어 보자. BTC의 실제 속도로 10,000 BTC가 처음 $100만을 넘긴 건 언제였을까? 곱하기로는
답에 닿을 수 없다. 지수를 되돌려야 한다.
from math import log
def years_to_target(P, F, r):
return log(F / P) / log(1 + r)
years_to_target(41, 1e6, 1.89) # ≈ 9.5 (years since May 2010)이율은? — 라즐로의 손실은 정말 '특별했나'?
$41이 16년 만에 $10억이 됐다는 사실은 안다. 하지만 r은 모른다. 지수 자체를 모르니 되돌릴 수 없고,
로그를 씌우면 엉뚱한 미지수가 빠져나온다. 세 번째 연산이 필요하다:
def implied_rate(P, F, t):
return (F / P) ** (1 / t) - 1
implied_rate(41, 1e9, 16) # ≈ 1.89 (189% / yr — Bitcoin)
implied_rate(100, 1000, 30) # ≈ 0.08 (8% — boring SPY-ish)“연 189% CAGR”이라는 한 숫자는 16년 동안의 요동을 가린다. 2018 → 2022 (고점에서 고점)로 CAGR을 계산해 보면 연 3% 남짓이다. 반대로 2020 → 2021 구간만 떼어 보면 **300%**가 넘는다. CAGR은 평균 지수 — 이율이 늘 일정했다고 가정한다. 단 한 번도 일정한 적 없었는데도 그렇다. 비트코인 이야기를 찾아낸 바로 그 식이, CAGR을 계산하는 순간 같은 이야기를 납작하게 짓눌러 버린다. 하필 잘못된 구간을 골라 팔면 당신의 ‘평균’은 189%와는 거리가 멀어진다.
한 식, 세 연산. 에는 미지수가 셋이다. 각 미지수가 서로 다른 문을 연다: F는 지수, t는 로그, r은 거듭제곱근. 지수·로그·거듭제곱근의 구조적 관계는 정확히 이게 전부다. 외워야 할 것은 식이지 연산이 아니다.
위 슬라이더는 기본값 그대로 두자: P = $41, r = 189%. y축은 로그로 바꾼다. 라즐로의 $41이 처음 $1,000,000을 넘는 건 대략 언제일까? (식 없이 그래프만 보고 답하라.)
오늘 BTC를 $100어치 산다. 후하게 잡아서 BTC의 CAGR이 **연 50%**로 느려진다고 가정하자(지금까지 속도의 약 1/4). 10년 뒤 가치를 식으로 세우고 풀어라.
친구가 5년 전 BTC에 $1,000을 넣어 두었다. 지금은 $32,000이 됐다. CAGR은 얼마였을까? (힌트: 32 = 2⁵.)
투자자 A는 2010년에 **SPY(연 8%)**에 $1,000,000을 넣었다. 투자자 B는 같은 해 **BTC(연 50%, 보수적으로 잡은 값)**에 단 $100을 넣었다. 몇 년이 지나면 B가 A를 따라잡을까?
비트코인을 미래로 던져 보자. 오늘(2026) 10,000 BTC ≈ $10억이다. BTC가 16년치 CAGR인 **연 189%**를 앞으로 20년 더 유지한다면(2046년) 그 피자는 얼마짜리가 될까? 세계 GDP(~$110조)와 비교해 보라. 그 답이 지수 이야기에 대해 무엇을 말해주는가? 을 사용하자.
대부분의 교과서는 로그를 “eˣ의 역함수”라고 정의하면서 시작한다 — 질문이 빠진 정의다. 독자는
왜 필요한지를 알기도 전에 기호부터 배운다. Lemma는 순서를 뒤집는다. 10,000 BTC짜리 피자가
질문이고, 지수·로그·거듭제곱근은 그 질문에 정직하게 답하는 유일한 도구로서 거기서 흘러나온다.
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