위험한 자산 두 개를 섞으면 왜 더 안전해질 수 있을까?

위험 = 분산 — 'risky'가 실제로 측정하는 것

금융에서 _위험_은 _최악의 경우 얼마나 잃을 수 있는가_가 아니라 _결과가 평균 주변에서 얼마나 흔들리는가_를 줄여 부르는 말이다. 표준 도구는 분산 : $Var(r) = E[(r − μ)²]$ — 평균에서 벗어난 편차를 제곱한 기대값. 그 제곱근인 표준편차 $σ$는 수익률과 단위가 같고, 사람들이 흔히 “변동성”이라 부르는 양이 바로 이것이다. σ가 두 배면 그런 의미에서 “두 배 위험”, 절반이면 “절반의 위험”이다. 완벽한 대용품은 아니다 (한 번 크게 폭락하는 차트와 매일 자잘하게 흔들리는 차트는 σ가 같아도 성격이 다르다). 그래도 이차식 수학이 펼쳐지는 좌표가 바로 분산이다. 현대 포트폴리오 이론, CAPM, 샤프 지수 — 모두 분산 위에 서 있다.

두 자산, 네 개의 수

자산 A, B를 고른다. 각각 평균 수익률과 분산이 있다: $μ_A, σ_A², μ_B, σ_B²$. A에 비중 $w$, B에 비중 $1−w$로 섞는다. 조합의 평균은 어렵지 않다 — 가중 평균이다:

$μ_p = w μ_A + (1−w) μ_B$

평균만 보면, μ가 같은 자산을 섞는 건 의미가 없다 — 똑같은 μ가 나올 뿐이다. 그런데 조합의 _분산_에는 두 항이 아니라 세 항이 있다:

$σ_p² = w² σ_A² + (1−w)² σ_B² + 2 w (1−w) Cov(A, B)$

앞 두 항은 짐작대로다 — 각 자산의 분산에 비중의 제곱을 곱한 것. 놀라운 건 세 번째, 공분산 이다. 이게 교차항이고, 섞어서 무언가를 얻거나 잃는 지점이다. A와 B가 같이 움직이면 (양의 공분산) 섞을수록 위험이 쌓이고, 반대로 움직이면 (음의 공분산) 섞을수록 위험이 상쇄된다.

import numpy as np

# Two assets: same mean return 5%, same standard deviation σ = 1.
# We'll compute portfolio mean and variance for any (weight, correlation).
mu_A, mu_B = 0.05, 0.05
sig_A, sig_B = 1.0, 1.0

def portfolio(w, rho):
    """w: fraction in A; (1-w) in B. rho: correlation of returns."""
    mu  = w * mu_A + (1 - w) * mu_B
    var = (w**2 * sig_A**2
         + (1 - w)**2 * sig_B**2
         + 2 * w * (1 - w) * rho * sig_A * sig_B)
    return mu, var

# Same expected return regardless of weight (because mu_A == mu_B).
# Variance is what moves.
[(rho, *portfolio(w=0.5, rho=rho)) for rho in (1.0, 0.0, -1.0)]
# → [(1.0,  0.05, 1.00),    perfect lockstep — no diversification benefit
#    (0.0,  0.05, 0.50),    independent — variance halves at 50/50
#    (-1.0, 0.05, 0.00)]    perfect anti — risk literally vanishes

상관계수 — 정규화된 공분산

공분산은 단위가 어색하다 (A의 단위 × B의 단위). 그래서 단위 없는 버전을 쓴다: 상관계수 $ρ = Cov(A, B) / (σ_A σ_B)$, 범위는 $[−1, 1]$. 분산 공식은 이렇게 된다:

$σ_p² = w² σ_A² + (1−w)² σ_B² + 2 w (1−w) ρ σ_A σ_B$

세 가지 경우가 있다. $ρ = +1$ — 완전히 같이 움직이면 — $σ_p$는 그저 $σ_A$와 $σ_B$의 가중 평균이다. 섞어서 얻는 게 없다. $ρ = 0$ — 독립이면 — 교차항이 사라지고, $σ_p²$는 분산의 가중 평균 아래로 떨어진다. $ρ = −1$ — 정반대로 움직이면 — 교차항이 큰 _음수_가 된다. $σ_A = σ_B$이고 $w = 1/2$일 때 분산은 정확히 0이 된다. 위험이 줄어드는 정도가 아니라 아예 사라진다. 위 위젯은 이 세 경우를 다이얼 하나로 훑어 보여준다.

# Minimum-variance weight, closed form.
# Take d/dw of σ²_p(w) and set to zero:
#   w* = (σ_B² − ρ σ_A σ_B) / (σ_A² + σ_B² − 2 ρ σ_A σ_B)
def min_var_weight(rho, sig_A=1.0, sig_B=1.0):
    num = sig_B**2 - rho * sig_A * sig_B
    den = sig_A**2 + sig_B**2 - 2 * rho * sig_A * sig_B
    return num / den if abs(den) > 1e-12 else 0.5

[(rho, min_var_weight(rho)) for rho in (-1, -0.5, 0, 0.5, 0.99)]
# → [(-1,    0.50),    A and B equally weighted — perfect cancellation
#    (-0.5, 0.50),    still 50/50 because σ_A = σ_B
#    (0,    0.50),
#    (0.5,  0.50),
#    (0.99, 0.50)]
# With σ_A = σ_B the answer is always 0.5; differing σ's would tilt w*.

이건 벡터의 |a + b|²와 같은 대수

포트폴리오 분산 공식은 금융이 새로 발명한 게 아니다 — 벡터 합의 제곱 길이 공식에 금융 용어를 입힌 것일 뿐이다. 수익률을 무작위 벡터로 보자. 각 자산이 2D 벡터의 한 성분이고, 포트폴리오는 그 가중 결합이다. 벡터 모듈의 제곱 길이 항등식:

$|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 a · b$

$|a|²$를 $w² σ_A²$로, $|b|²$를 $(1−w)² σ_B²$로, 내적 $a · b$를 $w (1−w) Cov(A, B)$로 바꿔 보자 — 포트폴리오 분산이 그대로 복원된다. 공분산은 무작위 변수에 정의된 내적이다. 둘 사이 각도의 코사인이 바로 _상관계수_다. “두 자산이 직각” = 무상관, “두 자산이 같은 방향” = 양의 상관, “두 자산이 반대 방향” = 음의 상관이고, 이 짝이 서로를 _상쇄_한다.

벡터 모듈이 물리·그래픽·ML·그리고 금융에서까지 쓰이는 이유가 여기에 있다 — 같은 두 연산 (더하기, 늘이기)이 베지에 제어점을 움직이고 포트폴리오를 만든다. 응용들이 정리를 공유하는 게 아니라 대수를 공유한다.

분산 최소 비중

$d/dw [σ_p²] = 0$. 한 줄짜리 미분 문제다. 답:

$w* = (σ_B² − ρ σ_A σ_B) / (σ_A² + σ_B² − 2 ρ σ_A σ_B)$

$σ_A = σ_B$이면, 모든 $ρ$에 대해 $w* = 1/2$로 정리된다. 변동성이 같은 두 자산의 가장 안전한 조합은 언제나 반반이다. $σ_A ≠ σ_B$이면 식이 한쪽으로 기운다 — 변동성이 낮은 자산이 더 큰 비중을 받지만, 그 기울기는 $ρ$에도 달려 있다. 위젯은 $w*$를 분산 곡선 위 초록 점으로 표시한다. $ρ$를 움직여 보면 그 주변에서 곡선이 평평해지거나 날카로워진다. 본격적인 _현대 포트폴리오 이론_의 일반화 — N개 자산, N×N 공분산 행렬, 제약 아래에서 이차식을 최소화하는 문제 — 도 결국 같은 계산을 벡터-행렬 형태로 옮겨 적은 것일 뿐이다. 한 짝, 세 항, 한 교차항. 나머지는 장부 정리다.

# Sanity check via Monte Carlo: simulate joint returns at given ρ,
# form the 50/50 portfolio, measure realized variance, compare to formula.
import numpy as np

def simulate(rho, n=200_000, seed=0):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    z1 = rng.standard_normal(n)
    z2 = rng.standard_normal(n)
    a = mu_A + sig_A * z1
    b = mu_B + sig_B * (rho * z1 + np.sqrt(1 - rho**2) * z2)
    p = 0.5 * a + 0.5 * b
    return p.mean(), p.var()

formula = portfolio(w=0.5, rho=-0.5)
sim     = simulate(rho=-0.5)
formula, sim
# → ((0.05, 0.25), (0.0501, 0.2503))
# Closed form and simulation agree to three decimals.
# The whole MPT machinery from Markowitz onward sits on top of this single
# scalar identity; the rest is generalizing to N assets and adding
# constraints (no shorts, sector caps, etc.).