직선과 포물선은 두 점에서 만난다. 두 원도 두 점. 3차 곡선과 직선은 세 점. 두 곡선의 차수를 곱한 값이 곧 그 수다.

순진한 셈법의 세 가지 실패

차수 1 직선과 차수 2 포물선을 보자. $y = mx + c$를 $y = x²$에 대입하면 x에 대한 이차방정식 — 두 근, 두 교점. $1 · 2 = 2$. 깔끔하다. 이제 세 군데서 깨뜨려 보자. (a) 평행한 두 직선 $y = x$와 $y = x + 1$ — 대입하면 $0 = 1$, 모순이다. 교점 0개, $1 · 1 = 1$이 아니다. (b) 직선 $y = 0$은 원점에서 $y = x²$에 접한다 — 두 점이 아니라 한 점에서 만난다. (c) 서로 만나지 않는 두 단위원 $x² + y² = 1$과 $(x − 3)² + y² = 1$ — 교점 0개, 4개가 아니다.

곱셈 규칙은 맞을 때가 많아 정리처럼 보이지만, 틀릴 때도 많아 추측처럼 보인다. 둘 중 하나다 — 추측이거나, 아니면 평면이 잘못된 무대거나. 두 번째를 택한다.

보정 1 — 사영평면

직선은 방향 하나에 위치 하나를 더한 것이다. 평행선은 방향을 공유한다. 평면에 방향마다 새 점 하나씩을 더해 보자 — 그 방향의 무한원점 이라 부른다. 그러면 평행한 두 직선은 방향이 같으므로 이 추가된 한 점을 공유하고, 평행하지 않은 두 직선은 원래 한 점에서 만난다. 이렇게 하면 서로 다른 임의의 두 직선은 정확히 한 점에서 만난다. 모든 방향의 무한원점을 한데 모으면 한 줄의 무한원선이 된다. 평면에 이 직선을 더한 것이 사영평면 $ℝℙ²$이다.

사영점은 $[X : Y : Z]$로 쓴다 — 셋이 모두 0은 아닌 세 수이며, 전체에 같은 수를 곱한 것은 같은 점으로 본다 (즉 $[2 : 2 : 0], [1 : 1 : 0], [5 : 5 : 0]$은 같은 점). affine (보통의 유한) 점은 $[x : y : 1]$, 무한원점은 $[X : Y : 0]$: 방향 $(X, Y)$. §1의 두 평행선은 둘 다 $[1 : 1 : 0]$을 지난다 — “방향 (1, 1)“이라는 점이다. 실패 (a) 보정 완료.

보정 2 — 중복도

접선은 포물선과 기하적으로는 한 점에서 만나지만 대수적으로는 두 점이다. $y = 0$을 $y = x²$에 대입하면 $x² = 0$ — 중근 $x = 0$이 나온다. 다항식은 그림이 잊는 것을 기억한다. 두 곡선이 한 점에서 갖는 교차 중복도 는, 한 변수를 소거한 다항식이 그 점에서 몇 차로 사라지는가로 정의한다. 가로지름은 1, 단순 접촉은 2, 3중 접촉은 3, ⋯. 베주의 수는 언제나 중복도까지 더한 수, 날것 그대로가 아니다.

위 위젯에서 접 프리셋으로 바꾼 뒤 중복도 표시를 켜 보라: 접점에 $×2$ 라벨이 붙고, 보이던 3이 4로 채워진다. 실패 (b) 보정 완료.

보정 3 — 복소수 좌표

서로 만나지 않는 두 원 $x² + y² = 1$과 $(x − 3)² + y² = 1$은 어디서도 만나지 않는 듯 보인다. 두 식을 빼면 $−6x + 9 = 0$, 즉 $x = 3/2$. 그 x에서 첫째 원은 $y² = 1 − 9/4 = −5/4$ — 실수 해는 없지만 멀쩡한 복소수 해가 둘 있다: $y = ± i \sqrt{5} / 2$. 두 원은 실제로 두 점 $(3/2, ± i \sqrt{5} / 2)$에서 만난다 — 그 점이 $ℝ²$이 아니라 $ℂ²$ 위에 있을 뿐이다.

위 위젯의 분리 프리셋은 실수 교점이 0개임을 보여준다 — 복소 보기를 켜면 옆 패널에 네 개의 빈 동그라미가 뜬다: 베주가 약속한 네 교점이 복소 x-평면 위에 찍힌 것이다. 실패 (c) 보정 완료.

# The disjoint-circles example, hand-eliminated.
# C1: x² + y² − 1     = 0
# C2: (x − 3)² + y² − 1 = 0
# Subtract: −6x + 9 = 0  →  x = 3/2.
# Plug back into C1: y² = 1 − 9/4 = −5/4  →  y = ± i √5 / 2.
import cmath
x = 3 / 2
ys = (cmath.sqrt(1 - x**2), -cmath.sqrt(1 - x**2))
[(x, y) for y in ys]
# → [(1.5, 1.118j), (1.5, -1.118j)]   (two complex intersections)

진술

세 가지 보정 — 사영평면 , 복소좌표, 중복도 — 을 마치면 곱셈 규칙은 정리가 된다.

왜 성립하는가 — 종결식

한 변수를 소거한다. 두 다항식 $f(x, y), g(x, y)$를 $y$에 대한 다항식 (계수는 $x$의 식)으로 보면, 둘이 공통 근을 갖는 것은 $y$에 대한 종결식 이 0이 되는 것과 동치다. $f$의 $y$-차수가 $d$, $g$의 $y$-차수가 $e$이면 종결식은 $x$에 대한 차수 $d · e$의 다항식이고, 그 $d · e$개의 (중복도 포함) 복소근이 곧 $d · e$개 교점의 $x$좌표다. 두 원뿔곡선이라면: $x$에 대한 4차 다항식. 네 근. 네 교점. 위 위젯은 바로 이 4차 방정식을 푼 결과다.

# Sylvester resultant of two conics in y → quartic in x.
import numpy as np

def resultant_y(c1, c2):
    """Each conic c = (a, b, c, d, e, k) for a x² + b xy + c y² + d x + e y + k.
       In y: A_i y² + B_i(x) y + C_i(x), with A_i = c_i, B_i = b_i x + e_i,
       C_i = a_i x² + d_i x + k_i.  Resultant in y of two quadratics is
       (A1 C2 − A2 C1)² − (A1 B2 − A2 B1)(B1 C2 − B2 C1)."""
    a1, b1, cc1, d1, e1, k1 = c1
    a2, b2, cc2, d2, e2, k2 = c2
    P = np.polynomial.Polynomial
    A1, A2 = cc1, cc2
    B1, B2 = P([e1, b1]), P([e2, b2])
    C1, C2 = P([k1, d1, a1]), P([k2, d2, a2])
    return (A1*C2 - A2*C1)**2 - (A1*B2 - A2*B1)*(B1*C2 - B2*C1)

# General preset: x²/4 + y² − 1 = 0   and   x² + y²/4 − 1 = 0
c1 = (1/4, 0, 1,    0, 0, -1)
c2 = (1,   0, 1/4,  0, 0, -1)
sorted(np.round(resultant_y(c1, c2).roots(), 4))
# → [(-0.8944+0j), (-0.8944+0j), (0.8944+0j), (0.8944+0j)]
#   (each root with multiplicity 2; the two y-values per x come back from c1)

이게 어디에 나타나나 — 같은 셈, 두 필러

베주는 교점을 세는 정리에서 출발해, 타원곡선 덧셈을 정확하게 만드는 장부가 된다. 양쪽에서 곱 $d \cdot e$는 같은 수다. 다만 무엇을 세는지가 다를 뿐.

그래픽 : 두 원뿔곡선이 실제로 몇 점에서 만나는가 — 중복도, 사영점,
       복소근까지 다 셌을 때.
금융   : 타원곡선과 현이 만나는 세 번째 점 — 타원곡선 덧셈을 정의하는,
       숨어 있는 세 번째 교점.

곡선 교점 — 평면의 두 원뿔곡선은 정확히 네 점에서 만난다 — 세 가지 보정 (사영평면, 중복도, 복소근) 을 받아들이고 나면 그렇다. 위젯이 그 셈을 돌린다 — 접점은 중복도에 2를 더하고, 평행 점근선은 무한원점을 만들고, 분리된 두 원뿔곡선은 복소수 네 점에서 만난다. 베주가 “두 원뿔곡선이 만난다”의 의미를 정한다.

비트코인 서명 — 타원곡선의 차수는 3, 현의 차수는 1, 베주에 따라 둘은 $3 \cdot 1 = 3$점에서 만난다. 그중 둘은 현의 양 끝점이고, 세 번째가 타원곡선 덧셈에서의 합이다. 서명 스킴은 이 세 번째 점 작도를 수백만 번 반복해 쌓아올린다 — 셈이 매번 정확해야 한다.

같은 정리, 다른 장부 — 그래픽은 “두 곡선이 어디서 만나는가”를 묻고, 금융은 “이 현 위의 세 번째 점이 무엇인가”를 묻는다. 베주가 그 세 번째 점이 존재하고 유일함을 보장하기에, ECDSA가 잘 정의된다.