진폭을 두 배로 키웠는데, 왜 시계는 거의 같은 시간을 잴까?

시계가 요구하는 것

기계식 시계는 흔들림의 횟수를 센다. “1분”이 우리가 원하는 그 의미가 되려면, 매 흔들림이 같은 시간을 잡아먹어야 한다. 진폭은 얼마든 상관없다 — 이번 째깍에서 탈진기가 에너지를 얼마나 실어 줬든, 주기 만 일정하면 된다. 주기가 실제로 그 성질을 가지는지는 운동 방정식이 결정한다.

진짜 방정식

질량 $m$의 추가 길이 $L$의 강체 막대 끝에 매달려 있다고 하자. 각 가속도 를 만드는 힘은 중력 의 호 접선 성분 하나뿐이고, 수직 아래에서 잰 각이 $θ$일 때 그 크기는 $−mg \sin θ$다. 호를 따라 뉴턴 제2법칙을 쓰면:

θ̈ = −(g/L) · sin θ

이건 비선형 미분 방정식이다. 깔끔한 초등 해는 없고, 주기는 출발 진폭 $θ₀$에 의존한다. 세상이 정확히 이대로 굴러간다면, 어떤 기계식 시계도 시간을 지킬 수 없다.

작은 각의 한 수

$\sin θ$를 0 근처에서 들여다보자. 원점에서 그은 접선 은 $y = θ$다. 그래서 작은 $θ$ (라디안 단위)에 대해서는 $\sin θ ≈ θ$. $θ = 5°$ (≈ 0.087 rad)에서 오차는 약 0.1%, $30°$에서는 약 4.5%, $60°$에서는 거의 18%다 — 근사가 금세 무너진다. 이게 작은 각 근사 이고, 비선형 함수를 접선으로 갈아 끼우는 일반적인 절차를 선형화 라 부른다.

위기는, §2의 식이 어렵다는 것. 한 수는, 어디서든 $\sin θ$를 $θ$로 바꿔 끼우는 것. 그 대가로 새 식은 큰 흔들림에서 틀린다. 도박은, 실제 시계는 그게 틀리지 않는 영역에서 돌아간다는 데 거는 것이다.

선형화된 방정식

대입해 보자. 진자 방정식은 이렇게 바뀐다:

θ̈ = −(g/L) · θ

이게 바로 단순조화운동 이다 — 가속도가 변위의 음의 값에 비례한다. 일반해는 $θ(t) = θ₀ \cos(ω·t + φ)$, 여기서 $ω = \sqrt{g/L}$다. 초기 조건 (“각 $θ₀$에서 정지 상태로 놓는다”)을 넣으면 위상 $φ$가 0이 되고, $θ(t) = θ₀ \cos(\sqrt{g/L} · t)$만 남는다.

import math

# Linearized pendulum: small-angle solution.
# θ̈ = −(g/L)·sin θ   →   (sin θ ≈ θ)   →   θ̈ = −(g/L)·θ
# Solutions are simple harmonic: θ(t) = θ₀·cos(ω·t),  ω = √(g/L).
def theta(t, L, g, theta0):
    omega = math.sqrt(g / L)
    return theta0 * math.cos(omega * t)

def period_small(L, g):
    return 2 * math.pi * math.sqrt(L / g)

period_small(1.0, 9.8)            # ≈ 2.007 s   (1-meter rod on Earth)
period_small(1.0, 1.62)           # ≈ 4.929 s   (same rod on the Moon)

시계 공식 — 진폭이 없는 주기

코사인의 주기는 $2π$이고, 각진동수 $ω$는 초당 $2π/T$ 라디안이다. 그러므로:

T = 2π √(L/g)

진폭이 사라졌다. 주기는 막대 길이 $L$과 그 지역의 $g$에만 의존한다 — 추의 질량과도, 얼마나 크게 흔드는지와도 무관하다. 시계가 요구하던 그 성질이, 선형화된 방정식에서 깔끔한 따름결과로 떨어진다. 지구에서 1 m짜리 막대는 $T ≈ 2.007 s$로 흔들리고, 달에서는 $g ≈ 1.62 m/s²$이기에 같은 막대가 $T ≈ 4.93 s$로 흔들린다.

거짓말을 정직하게 들여다보기

진폭은 실제 주기에서 사라지는 게 아니라 작아질 뿐이다. 전개의 다음 항은 잘 알려져 있다:

T(θ₀) = T₀ · (1  +  θ₀²/16  +  …)

$θ₀ = 10°$ (≈ 0.175 rad)에서 보정은 약 0.2% — 8분에 1초로, 견딜 만하다. $30°$에서는 1.7%, 30분에 30초로 이미 디지털 손목시계보다 못하다. $60°$에서는 6.9%, 시간당 6분이라 시계라 부르기 어렵다. 위젯에서도 그대로 드러난다. 보정을 켠 채 $θ_B = 60°$로 두면 몇 번 흔들리기도 전에 B가 A보다 눈에 띄게 뒤처진다.

실제 진자시계가 굴러간 건 탈진기가 추를 작은 호 안에 가둬 둔 덕분이다. 17세기 시계공들은 남은 진폭 오차를 잡으려고 매다는 부위에 사이클로이드 “뺨”을 덧붙였고, 현대 설계는 호 자체를 충분히 작게 유지해 선형 근사가 거의 참인 영역 안에서만 시계를 돌린다. 기술 전체가 그 거짓말이 통하는 영역 위에 세워져 있다. 공식 그 자체보다 이쪽이 핀에 새겨 둘 만한 교훈이다.

# What the small-angle formula is missing — Borda's leading correction.
# Real period grows with amplitude: T(θ₀) ≈ T₀ · (1 + θ₀²/16).
def period_corrected(L, g, theta0_rad):
    return period_small(L, g) * (1 + theta0_rad**2 / 16)

# How much does the clock drift if the bob actually swings 30°?
T0  = period_small(1.0, 9.8)
T30 = period_corrected(1.0, 9.8, math.radians(30))
(T30 - T0) / T0 * 100              # ≈ 1.7 %   slow, every period

# 60° (a wild swing) gives ~6.9 % slow — many minutes per day. The
# actual clocks of the 17th century constrained the bob to small
# arcs (the cycloidal-cheek trick); modern ones use escapements that
# keep the amplitude small enough for the linear approximation to
# stay nearly true. The whole technology is built around the lie.