중력은 왜 매번 포물선을 그릴까?

두 운동, 공 하나

공이 손을 떠나면 그 위에 작용하는 힘은 중력 하나 — 곧장 아래로 당긴다. 가로 방향으로는 미는 힘이 없다. 그러니 가로로는 던질 때의 속도 그대로 — 등속, 영원히, 착지할 때까지. 세로로는 중력이 올라갈 때 속도를 깎고, 정점에서 잠깐 멈추고, 내려올 때 다시 붙인다. 가로 운동은 중력이 있는 줄도 모른다. 세로 운동은 가로 속도가 있는 줄도 모른다. 각각은 1차원 문제. 둘을 나란히 푼 다음 합치면 2차원 그림이 된다.

운동 방정식

발사 속도를 성분으로 나누자: $vₓ = v₀ \cos θ$, $v_y = v₀ \sin θ$. 가로 성분은 일정. 세로 성분은 매초 $g$씩 줄어든다 — 아래로 향하는 일정한 가속도 의 몫: $v_y(t) = v₀ \sin θ − g·t$. 한 번 적분하면 위치:

x(t) = v₀ cos θ · t
y(t) = v₀ sin θ · t − ½ g t²

이 한 쌍이 매개변수 곡선 — 시간 매개변수 $t$를 공유하는 두 함수. 이 곡선의 이미지는 운동장 위에 그려진 모양, 매개변수화는 시간상의 실제 운동. 같은 이미지를 여러 매개변수화가 칠해낼 수 있다 — 곧 본다.

“한 번 적분하면 위치”라는 문구가 여기서 진짜 일을 하고 있다. 중력이 가속도를 준다. 가속도를 적분하면 속도가 되고, 속도를 적분하면 위치가 된다. 포물선은 마술이 아니다 — 변화가 두 번 쌓인 결과다. 적분 상수는 초기 조건이 정한다 — $t = 0$에서 속도는 발사 속도 (아직 떨어지지 않았으니), 위치는 발사점 (아직 움직이지 않았으니). 두 번의 적분, 두 개의 상수, 닫힌 형식의 궤적 하나.

import math

# Two motions, independent. The horizontal one ignores gravity;
# the vertical one ignores horizontal velocity.
def position(t, v0, theta_deg, g):
    th = math.radians(theta_deg)
    x = v0 * math.cos(th) * t           # uniform velocity → linear in t
    y = v0 * math.sin(th) * t - 0.5 * g * t**2  # constant accel → quadratic
    return x, y

def velocity(t, v0, theta_deg, g):
    th = math.radians(theta_deg)
    return v0 * math.cos(th), v0 * math.sin(th) - g * t

position(0.0, 20, 45, 9.8)   # → (0.0, 0.0)         start
position(1.0, 20, 45, 9.8)   # → (14.14, 9.24)
velocity(1.0, 20, 45, 9.8)   # → (14.14, 4.34)      vy decreased

시간을 지우면 포물선이 보인다

$x(t) = v₀ \cos θ · t$를 $t$에 대해 풀면 $t = x / (v₀ \cos θ)$. 이걸 $y(t)$에 넣자:

y(x) = (tan θ) · x  −  g · x² / (2 v₀² cos²θ)

이게 $x$에 대한 이차식. $t$에 대한 독립적인 두 선형 과정의 자취는 필연적으로 $x$에 대한 이차식이 되고, 이차식의 그래프는 포물선 . 포물선은 이 운동의 이미지, 운동은 매개변수화. 이미지는 시간 축을 지운다 — 모양은 읽을 수 있지만, 공이 그 자리까지 얼마나 빠르게 갔는지는 알 수 없다.

# Eliminate t. Substitute t = x / (v0 cos θ) into y(t):
#   y = (tan θ) · x  −  g · x² / (2 v0² cos²θ)
# That's a quadratic in x — a parabola. The motion's image, with
# the time-axis collapsed.
def trajectory(x, v0, theta_deg, g):
    th = math.radians(theta_deg)
    a = -g / (2 * v0**2 * math.cos(th)**2)
    b = math.tan(th)
    return a * x**2 + b * x

trajectory(14.14, 20, 45, 9.8)  # → 9.24   (matches y from arc2 — same image)

아무 것도 풀지 않고 읽히는 것

식에서 네 가지가 떨어진다.

• 정점까지의 시간. 세로 속도 $v_y(t) = v₀ \sin θ − g·t$가 0이 되는 시점: $t_{\text{정점}} = v_0 \sin θ / g$. 이때 공이 최고점.
• 착지까지의 시간. 대칭으로 내려오는 길은 올라간 길의 거울: $t_{\text{착지}} = 2 · t_{\text{정점}}$. 위젯의 통계 줄이 보여준다.
• 사거리. $R = v_0 \cos θ · t_{\text{착지}} = v_0^2 \sin(2θ) / g$. $2θ = 90°$, 즉 발사각 $θ = 45°$에서 최대. 가장 멀리 가는 던지기는 위로 가는 힘과 앞으로 가는 힘이 정확히 반씩 나뉜 던지기.
• 대칭. 정점은 $x = R/2$. 착지 속력은 발사 속력과 같다 (같은 $vₓ$, 부호만 뒤집힌 같은 크기의 $v_y$). 공기저항이 없으면 공기에게 에너지를 잃지 않는다.

# Standard closed forms — read off the parabola without solving anything.
def t_peak(v0, theta_deg, g):
    return v0 * math.sin(math.radians(theta_deg)) / g

def t_land(v0, theta_deg, g):
    return 2 * t_peak(v0, theta_deg, g)        # symmetric flight

def range_(v0, theta_deg, g):
    return v0**2 * math.sin(math.radians(2 * theta_deg)) / g

def y_max(v0, theta_deg, g):
    return v0**2 * math.sin(math.radians(theta_deg))**2 / (2 * g)

range_(20, 45, 9.8)   # → 40.82  (max range at 45° on a flat field)
y_max(20, 45, 9.8)    # → 10.20

같은 이미지, 다른 운동

매개변수 곡선 모듈이 정밀하게 만든 이미지 vs 매개변수화 구분이 여기서도 그대로 적용된다. $y(x) = (\tan θ) x − g x² / (2 v₀² \cos²θ)$를 보자: 포물선 모양은 $θ$와 비율 $g/v₀²$에만 의존한다. $v₀$와 $g$를 알맞은 배율로 함께 키우면 같은 포물선을 다른 시간에 걸쳐 지나간다. 알맞은 속력으로 달에서 던지면 지구에서 던질 때와 모양은 똑같지만 더 느리게 — 같은 모양을 그리는 데 달의 시계는 다르게 흐르니까.

베지에 곡선, 그리고 모듈이 된 매개변수 곡선 스파이크와 똑같은 교훈: 그림은 그림이고, 그것을 칠하는 움직임은 또 다른 것. 두 매개변수화가 세세한 부분에서 모두 달라도 만들어내는 이미지는 같을 수 있다.