시간에 흩어진 현금흐름의 값은 어떻게 매길까?

미래 1달러는 오늘 1달러가 아니다

오늘 1달러를 이율 r로 굴려 1년 뒤에 $1 + r$이 된다면 (로그 모듈에서 본 연속 복리라면 $e^r$), 1년 뒤의 $1은 오늘 기준으로 $1/(1 + r)$과 같다. 이것이 가장 단순한 현재가치 계산이다. 지급이 두 번이면 같은 논리가 한 번 더 복리로 쌓인다 — 2년 뒤의 $1은 오늘 $1/(1 + r)²$, t년 뒤의 $1은 오늘 $1/(1 + r)^t$.

이 곱셈 인자 $1/(1 + r)^t$ — 또는 연속판 짝꿍인 $e^(−rt)$ — 가 바로 할인계수 다. t가 커지면 작아지고 (시간이 길면 더 깎이고), r이 커지면 더 빠르게 작아진다 (이자율이 높을수록 더 가파르게 깎인다). 이 페이지 전체가 결국 곱셈 한 번과 합 한 번이다 — 미래 현금 × 할인계수를, 돈이 도착하는 모든 미래 시점에 걸쳐 합산.

이산 스트림 — 쿠폰, 급여, 월세

실제 현금흐름 은 띄엄띄엄 도착한다. 채권은 N년에 걸쳐 매년 $100씩, 급여는 격주마다, 월세는 매달. 각 조각의 현재가치를 따로 계산해서 다 더하면 된다 —

$PV = Σ_{i=1}^N C_i / (1 + r)^(t_i)$

이율 r로 N년 동안 매년 일정 금액 C가 들어온다면, 이 등비급수의 합은 깔끔한 닫힌 형식이 된다 — $PV = C · (1 − (1+r)^(−N)) / r$. 하지만 개념 자체는 별것 아니다 — “하나씩 할인하고, 다 더한다.” 그 일은 스프레드시트가 알아서 해준다. 식은 종이에 쓰려고 만든 것일 뿐.

위젯에 $1/년 스트림이 나온다. r = 5%라면 처음 10년이 기여하는 PV가 약 $7.72. 다음 10년은 약 $4.74만 더 얹힌다 (훨씬 적다). 30년을 넘어가면 추가 지급은 거의 의미가 없다. 먼 미래의 돈은 할인되어 사라진다 — 모기지, 연금, 영구채처럼 긴 스트림을 평가할 때 핵심이 되는 사실이다.

import math

# Discrete: pay $C every year for N years, discount at rate r per year.
# PV = sum_{i=1..N} C / (1 + r)^i
def pv_discrete(C, r, N):
    return sum(C / (1 + r)**i for i in range(1, N + 1))

# At r = 5%, $1/year for 10 years is worth less than $10 today.
[pv_discrete(1, 0.05, N) for N in (1, 5, 10, 20)]
# → [0.95, 4.33, 7.72, 12.46]
# Past 20 years, additional payments contribute almost nothing — distant
# money discounts away, no matter the cash flow's nominal size.

연속복리 — 지수가 자리를 잡는다

지급 간격이 더 짧아지면 — 매월, 매일, 매초 — 이산 합은 연속 적분으로 넘어가고, 할인계수 $1/(1+r)^t$는 $e^(−rt)$로 매끄럽게 풀린다. 왜 하필 지수일까? 복리 빈도 n이 커질 때 $(1 + r/n)^(n·t)$에 로그를 씌워 보자 — $n·t · \log(1 + r/n) → r·t$, 따라서 $(1 + r/n)^(n·t) → e^(r·t)$. 로그 모듈의 항등식이 그대로 다시 등장한다 — 연속 성장과 연속 할인은 서로의 역연산이고, 둘 다 지수의 세계에 살고 있다.

연속 할인계수 $e^(−rt)$는 n이 커지면 이산 계수와 일치한다. 다만 합을 구하기보다 적분하는 쪽이 훨씬 편하다 — 지수의 원시함수가 닫힌 형식이라서다 (적분 모듈 참고). 실제 상품(채권, 배당, 모기지)의 가격을 매길 때는 두 버전이 다 쓰인다. 어느 쪽을 쓸지는 지급이 덩어리로 들어오는지, 매끄럽게 흐르는지에 따라 갈린다.

# Continuous version: discount factor is e^(-r*t), which is what
# 'continuous compounding' gives in the limit of (1 + r/n)^(n*t) as n → ∞.
# Why exponential? log of (1 + r/n)^(n*t) = n*t * log(1 + r/n) → r*t,
# so (1 + r/n)^(n*t) → e^(r*t). The log module's identity surfaces here
# directly: continuous discount = inverse of continuous growth.

def discount_continuous(t, r):
    return math.exp(-r * t)

[(t, round(discount_continuous(t, 0.05), 4)) for t in (0, 1, 5, 10, 30)]
# → [(0, 1.0), (1, 0.9512), (5, 0.7788), (10, 0.6065), (30, 0.2231)]
# 30 years out at 5% — a future dollar is worth ~22 cents today.

연속 현금흐름 — 적분이 자리를 잡는다

현금흐름률 $c(t)$는 시간 $t$ 부근의 작은 시간 조각 $dt$ 동안 $c(t) · dt$ 달러가 들어온다는 뜻이다. [0, T] 구간의 미할인 합계는 적분 $∫_0^T c(t) dt$이 된다. 현재 가치를 구하려면, 각 조각이 도착하는 시점에 맞춰 먼저 할인한 뒤 더해야(적분해야) 한다 — 미래의 돈은 합쳐지기 전에 먼저 작아져야 한다 —

$PV = ∫_0^T c(t) · e^(−rt) dt$

가장 단순한 경우, [0, T]에서 현금흐름률 c도 이율 r도 일정하다면, 적분은 닫힌 형식으로 떨어진다 — $PV = (c/r) · (1 − e^(−rT))$. 위젯이 이 면적을 그래프에 음영으로 칠해 보여준다. $r$과 $T$를 끌어보면서 답이 어떻게 움직이는지 살펴보자. 양 끝의 두 극한이 흥미롭다. $r → 0$이면 할인이 없으니 $PV → c · T$, 그냥 미할인 합계가 된다. $T → ∞$면 영구채가 되어 $PV → c / r$ — 어떤 금융 교과서를 펴도 가장 먼저 마주치는 그 유명한 식이다.

# Continuous cash flow at rate c (dollars/year) over [0, T]:
# PV = ∫_0^T c · e^(-r*t) dt = (c/r) * (1 - e^(-r*T))
# For r → 0, the limit is c*T (no discount). For T → ∞, the limit is
# c/r — the perpetuity formula. Both are readable from the closed form.
def pv_continuous(c, r, T):
    if abs(r) < 1e-9:
        return c * T
    return (c / r) * (1 - math.exp(-r * T))

# Compare a $1/year stream's PV under different (r, T):
[(r, T, round(pv_continuous(1, r, T), 2))
 for r in (0.02, 0.05, 0.10) for T in (10, 30, 100)]
# → [(0.02, 10, 9.06),  (0.02, 30, 22.55),  (0.02, 100, 43.23),
#    (0.05, 10, 7.87),  (0.05, 30, 15.54),  (0.05, 100, 19.87),
#    (0.10, 10, 6.32),  (0.10, 30, 9.50),   (0.10, 100, 9.99)]
# At 10% the perpetuity limit is c/r = 10. At 100 years we're already
# at $9.99 — basically the limit. *5/r is roughly when extending
# matters less than the next decimal place.*

5/r 규칙 — 먼 미래의 돈은 거의 의미 없음

닫힌 형식 $(c/r)(1 − e^(−rT))$ 안에는 금융에서 가장 쓸모 있는 경험칙 하나가 숨어 있다. 인자 $1 − e^(−rT)$는 $r·T = \ln(100) ≈ 4.6$, 즉 대략 $T ≈ 5/r$에서 영구채 한계의 99%에 도달한다. 그래서 r = 10%라면 사실상 50년이면 영구채 한계에 닿고, r = 5%면 100년, r = 2%면 250년이 걸린다. 5/r을 넘어서면 기간을 더 늘려봐야 거의 보태지지 않는다.

영구채·부동산·국채 같은 무한 수명 평가가, 보험 적립금·기후 피해·다세대 프로젝트 같은 매우 긴 수명 평가와 흔히 쓰이는 할인율에서는 그리 차이 나지 않는 이유가 여기 있다. 미래의 돈은 현재가치로 환산하면 그렇게까지 값나가지 않는다. 세대 간 경제학 논쟁이 결국 세대마다 r이 달라야 하는가로 수렴하는 까닭도 그래서다 — “200년 뒤의 이익이 오늘로 치면 얼마인가?”라는 질문의 답은, c를 어떻게 잡는지가 아니라 거의 전적으로 r을 어떻게 잡는지에서 갈린다.

민감도 — r이 움직이면 PV는 얼마나 움직이는가

여기까지는 $r$이 당신이 정한 수였다. 실제로는 움직이는 수다 — 중앙은행이 바꾸고, 시장이 다시 매기고, 당신의 관점이 바뀐다. 자연스럽게 따라오는 질문 — $r$이 작은 양 $\Delta r$만큼 움직이면 PV는 얼마나 움직이는가? 이건 미분 질문이다 — 정확히는 $\partial PV / \partial r$, $r$의 함수로 본 PV의 기울기.

연속 경우 $PV = \int_0^T c(t) · e^{-rt} dt$를 적분 안에서 미분하면

$\partial PV / \partial r \; = \; -\int_0^T t · c(t) · e^{-rt} dt$

— PV와 같은 적분인데, 각 현금흐름 조각에 $t$가 한 번 더 곱해진다. 더 먼 미래의 돈이 민감도에 더 크게 기여한다. 수정 듀레이션 $D = -(\partial PV / \partial r) / PV$로 정의하면, 작은 금리 변동에 대한 가격 변동은 선형화로 예측된다 —

$\Delta PV \;\approx\; -D · PV · \Delta r$

10년 만기 무이표채는 $D \approx 10$ — 금리 1%p 상승이 가격 약 10% 하락을 예측한다. 2년 만기 채권은 $D \approx 2$ — 같은 변동이 약 2% 하락만 예측한다. 듀레이션은 정규화된, 금리에 대한 가격의 미분이고, 채권 시장이 매일 금리 위험을 가격으로 옮길 때 쓰는 도구다.

같은 모양이 옵션의 그릭스 (Greeks) 를 돌린다 — $\Delta$는 $\partial \text{Price} / \partial S$, $\Gamma$는 그 2계 도함수, $\Theta$는 $\partial \text{Price} / \partial t$, $\mathcal{V}$는 $\partial \text{Price} / \partial \sigma$. 모든 금융 상품은 민감도의 가족을 갖는다 — 가격을 각 입력에 대해 편미분한 것. “금융 derivative”의 derivative와 미적분의 미분 (derivative) 이 글자 그대로 같은 단어인 건 깊은 이유가 있어서다 — 상품의 가격이 다른 어떤 것의 도함수이고, 그 위험은 자신의 도함수들로 포착된다.