곡선은 지금 무엇을 하고 있는가?

Δ 분의 Δ — 평균 변화율

$t = 0 s$에 $x = 1 km$에서 출발해 $t = 4 s$에 $x = 9 km$에 도착했다. 평균 속도는 $(9 − 1) / (4 − 0) = 2 km/s$. 이 수는 여정 전체를 요약할 뿐, $t = 2 s$에 무엇을 하고 있었는지는 말해주지 않는다. 위치 그래프 위 $(0, 1)$과 $(4, 9)$를 잇는 직선이 할선 , 그 기울기가 평균이다. 극한 없이도 계산할 수 있다.

# Average rate of change — the secant slope. Two points, one division.
def average_rate(f, a, b):
    return (f(b) - f(a)) / (b - a)

f = lambda t: t * t            # x(t) = t² — toy "position"
average_rate(f, 1, 3)          # → 4.0   (position went 1 → 9 in 2 seconds)

구간을 0으로 — 순간 변화율

“$t = 2 s$에서 무엇을 하고 있었나”는 할선의 두 점이 하나로 합쳐져야 답이 나온다. 기준점 $a = 2$를 고정하고 작은 구간 $h$를 잡아 $(f(a+h) − f(a)) / h$를 계산하면서 $h$를 줄여 나가자. $f(t) = t²$이라면:

(f(2+h) − f(2)) / h
 = ((2+h)² − 4) / h
 = (4 + 4h + h² − 4) / h
 = 4 + h            ← independent of how big h is, except for the +h tail

$h → 0$일 때 식은 $4$로 수렴한다. 막연히 “다가간다”는 뜻이 아니다 — 값은 정확히 $4 + h$이고, $h$는 얼마든지 작게 만들 수 있다. 극한에서 살아남는 수 4가 $t = 2$에서 $t²$의 미분 이다 — $f'(2) = 4$. 기하적으로는 $(2, 4)$를 지나는 접선 의 기울기다.

# Instantaneous rate — shrink the interval and watch the secant slope
# converge to the tangent slope. No epsilon-delta; just shrink and look.
def secant_slope(f, a, h):
    return (f(a + h) - f(a)) / h

[secant_slope(f, 3, h) for h in (1, 0.1, 0.01, 0.0001)]
# → [7.0, 6.1, 6.01, 6.0001]
# The pattern: 6 + h. The limit as h → 0 is 6.
# That's f'(3) for f(t) = t².  In general, f'(t) = 2t.

기계는 하나, 이름은 셋 — 기울기·속도·변화율

레시피 — 두 점을 잡고, 할선 기울기를 계산하고, 구간을 줄이고, 극한을 취한다 — 는 무엇을 넣어도 같은 종류의 수를 낸다. $f$가 시간 대 위치 함수면 미분은 속도 . 가격 대 수익 그래프면 미분은 “한계수익.” 종이에 그린 곡선이면 미분은 각 점에서의 접선 기울기. 연산은 같고, 축에 무엇을 놓았는지에 따라 물리적 해석이나 기하적 해석이 달라질 뿐이다.

표준 패턴: $x^n$의 미분은 $n·x^(n−1)$. 위젯은 $n = 2$ 경우를 보여준다 — 기준 a를 끌면 $2a$가 읽힌다. 같은 기계를 $\sin x$에 돌리면 $\cos x$가 나오고, $e^x$에 돌리면 $e^x$가 그대로 돌아오고, 상수에 돌리면 0. 이 이름들 — “미분법” — 은 장부일 뿐, 바닥에 깔린 연산은 단 하나, _할선 기울기의 극한_이다.

두 번 미분하면 — 가속도

함수의 미분은 그 자체로 함수다. 한 번 더 미분할 수 있다. $f(t) = t²$이라면 $f'(t) = 2t$ (직선), $f''(t) = 2$ (상수). 위치를 두 번 미분하면 가속도 — 속도의 변화율 — 이 나오고, 자유낙하에서는 그 값이 상수 $−g$다.

이 사다리 — 위치, 속도, 가속도 — 는 미분이라는 도구만 손에 쥐면 “뉴턴 제2법칙” 그 자체가 된다: 힘 = 질량 × 위치의 두 번째 미분. 입문 물리의 대부분은 이 한 사실의 대수·기하적 따름결과다.

이게 어디에 나타나나 — 같은 연산, 세 필러

미분은 단순히 기울기가 아니다. 국소적인 변화다 — 한 양을 아주 조금 건드렸을 때 다른 양이 어떻게 반응하는가. 같은 연산이 필러마다 다른 이름으로 나타나지만, 대수는 같다.

물리 : 위치가 속도로 바뀌고, 속도가 가속도로 바뀐다.
     그 변화를 결정하는 것이 힘.
ML   : 매개변수가 움직일 때 손실이 변한다.
     그래디언트가 손실이 떨어지는 방향을 말해준다.
금융 : 금리가 움직일 때 가격이 변한다. 미분이 그 민감도를 잰다 —
     채권에는 듀레이션, 옵션에는 그릭스.

포물선 운동 — 식 $x(t) = v₀ \cos θ · t$와 $y(t) = v₀ \sin θ · t − \tfrac{1}{2} g t²$를 미분하면 $vₓ = v₀ \cos θ$ (상수)와 $v_y(t) = v₀ \sin θ − g t$ (선형)가 나온다. 위치를 미분하면 바로 속도가 되고, 한 번 더 미분하면 상수 $−g$ 가속도다.

진자시계 — 운동 방정식 $\ddot{θ} = −(g/L) \sin θ$는 왼쪽이 θ의 두 번 미분, 오른쪽이 θ의 함수다. $\sin θ$를 $θ$로 갈아끼우면 (선형화 트릭) $\ddot{θ} = −(g/L) θ$ — 단순조화진동자 방정식, 미분 도구가 알아보고 풀어낼 수 있는 형태가 된다.

종단속도 — 미분방정식 $dv/dt = g − k v$는 왼쪽이 한 번의 미분, 오른쪽이 단위 질량당 알짜힘이다. 고정점 — 종단속도 — 은 미분을 0으로 놓고 푼다 — $g − k v_t = 0$. 힘의 균형이란 정확히 “여기서 미분이 사라진다”는 뜻이다.

감쇠 진동자 — 식 $\ddot{x} + 2γ\dot{x} + ω₀² x = F(t)$의 왼쪽에 미분이 두 번 깔린다 — 속도 항과 가속도 항. 감쇠 는 바로 그 1계 도함수에 곱해진 항이고, 공명 은 2계 도함수 기하와 외부 구동이 맞는 자리다. 페이지 전체가 미분 사다리를 두 번 돈 것이다.

경사하강법 — 손실 $L(w)$는 다변수 함수다. 그 그래디언트 $∇L$은 편미분으로 이루어진 벡터. 한 스텝 $w ← w − η · ∇L$은 모든 매개변수에 대한 미분을 한꺼번에 쓴다. 손실이 떨어지는 비율은 $\|∇L\|²$ — 학습이 진전하고 있는지를 판가름하는, 미분에서 나온 양이다.

현재가치 — 같은 연산, 금융 어휘로. 채권 가격은 $PV(r) = \int_0^T c(t) · e^{-rt} dt$이고, 수정 듀레이션 $D = -(\partial PV / \partial r) / PV$는 정규화된 미분 — 금리가 움직일 때 채권 가격이 얼마나 움직일지를 예측한다. 옵션의 그릭스도 같은 가족 — $\Delta = \partial \text{Price} / \partial S$, $\Gamma$는 그 2계 도함수, 등등. 금융의 derivative와 수학의 미분 (derivative) 이 같은 단어인 데에는 이유가 있다.

이름은 달라도 같은 생각이다 — 물리에서는 속도, ML에서는 그래디언트, 금융에서는 민감도. 셋 다 미분이 국소적인 변화 규칙을 말해준다.

# Position → velocity → acceleration. Same machine, applied twice.
# Projectile: y(t) = v₀ sin θ · t − ½ g t²    (from /physics/projectile-motion)
#   dy/dt = v₀ sin θ − g t                    (vertical velocity)
#   d²y/dt² = −g                              (vertical acceleration — constant)
#
# Pendulum (small-angle): θ(t) = θ₀ cos(ω t),  ω = √(g/L)
#   dθ/dt  = −θ₀ ω sin(ω t)
#   d²θ/dt² = −θ₀ ω² cos(ω t) = −ω² · θ(t)   ← simple harmonic motion
#
# Each application's equation of motion is one or two derivatives applied
# to the position function. The derivative is the shared tool.