도입 · 두 힘, 한 고정점

빗방울은 왜 계속 빨라지지 않을까?

중력은 낙하하는 내내 같은 힘으로 끌어당긴다 — 질량 1kg당 약 $g = 9.8 m/s²$ , 1초가 지나든 1분이 지나든 변함없이. 진공이라면 자유낙하는 끝없이 빨라진다 — 포물선 운동에서 다룬 저항 없는 풍경. 그런데 공기 중에서 빗방울은 약 9 m/s, 낙하산을 편 사람은 약 5 m/s, 먼지 알갱이는 거의 가만히 떠 있다. 누구도 뉴턴 법칙을 어기지 않는다 — 두 힘이 정확히 상쇄되는 고정점 에 닿았을 뿐. 수학은 한 줄, 그리고 그 모양은 식어가는 커피잔이나 충전 중인 축전기에서 보이는 것과 똑같다.

종단속도는 최대값이 아니다 — 평형이다. 중력과 저항이 상쇄되는 점근선.

위젯 — 종단속도

v_t (종단)6.13 m/s

v(t) — 현재5.88 m/s

dv/dt — 현재0.40 m/s²

v_t 대비96%

저항 k (1/s)1.60시간 t (s)2.0 s

g = 9.8 m/s²

파란 곡선은 v(t) = v_t (1 − e^(−kt)) — 정지 상태에서 중력과 선형 저항을 받는 속도. 점선 초록은 종단속도 v_t = g/k. 곡선이 다가가지만 절대 넘지 않는다. 점선 회색은 저항 없을 때 기준 v = g·t — 저항이 없으면 속도는 영원히 선형으로 증가한다. 화살표 두 개가 커서에서 힘 균형을 보여준다: 중력 (주황, 고정), 저항 (초록, v에 비례 증가). v = v_t에서 두 화살표 길이가 같아진다 — 알짜힘 0, 가속도 0, 속도 변화도 0. 프리셋을 시도해보자: 깃털 (큰 k) 은 1초도 안 돼 작은 v_t에 닿고, 낙하산 펴기 전 (작은 k) 은 몇 초가 걸려야 약 25 m/s 근처에 안정된다.

흐름

속도는 미분, 가속도는 또 한 번의 미분

낙하하는 물체에는 위치 $y(t)$ 가 있다. 미분 모듈에서 본 대로, 속도 는 위치가 변하는 비율 $v = dy/dt$ . 같은 기계를 한 번 더 돌리면 가속도 $a = dv/dt$ — 속도가 변하는 비율. 뉴턴의 제2법칙이 이걸 한 줄로 묶는다: 단위 질량당 알짜힘 = $dv/dt$ . 힘을 적고 질량으로 나누는 순간, 운동을 예측하는 레시피가 손에 들어온다. 이 페이지의 모든 이야기는 우변의 두 항에서 벌어진다.

두 힘 — 중력은 상수, 저항은 아니다

낙하하는 빗방울에 두 힘이 작용한다. 중력은 $F_g = m·g$ 의 일정한 크기로 아래로 당긴다. 단위 질량당 그저 $g ≈ 9.8 m/s²$ , 빠르기와 무관하다. ** 공기 저항 **은 운동 반대 방향으로 밀어 올리고, 중력과 달리 속도에 따라 자란다. 공기 중 작은 물체라면 선형 저항이 깔끔하게 들어맞는다: 단위 질량당 $F_drag = k·v$ . 빗방울이 느리면 저항도 작고, 빠르면 저항도 크다. 두 힘은 서로 반대 방향을 가리키는 벡터 — 벡터 모듈에서 다룬, 1차원에서 더하고 빼는 단순한 경우다.

$dv/dt$ 로 들어가는 단위 질량당 알짜힘은 그 차이:

$dv/dt = g − k v$

두 항. 첫 항은 상수. 둘째 항은 아니다. 그게 식 전부다.

dv/dt = g − kv가 실제로 말하는 것

왼쪽에서 오른쪽으로 읽자: 어느 순간이든, 속도가 변하는 비율 = 중력 − 저항. 재미있는 점은 저항이 v 자체에 달려 있다는 것 — v가 어떻게 변할지 결정하는 우변에 v가 또 들어 있다. 그래서 이 식은 미분방정식이다. 미지의 함수와 그 미분이 한 식에 같이 등장한다.

식만 보고도 세 영역을 읽을 수 있다:

$v$ 가 작을 때 (정지에서 막 떨어진 직후): $kv$ 가 작으니 $dv/dt ≈ g$ — 진공에서의 자유낙하처럼 가속이 그대로 살아 있다.
$v$ 가 중간일 때: $kv$ 가 무시할 수 없는 크기. $dv/dt = g − kv$ 는 여전히 양수지만 작아진다. 속도는 자라되 점점 느리게.
$v = g/k$ 일 때: $kv = g$ . $dv/dt = 0$ . 속도가 더 이상 변하지 않는다. 이게 종단속도 .
$v > g/k$ (예: 아래로 세게 던진 경우): $kv > g$ . $dv/dt < 0$ . 속도가 줄어든다 — 저항이 이긴다. 위쪽에서 $v_t$ 로 내려올 때까지.

위젯의 파란 곡선은 점선 초록선을 아래에서부터 따라붙는다. 어느 쪽에서 출발하든 $v_t$ 가 종착점.

import math

# Per-unit-mass equation of motion: dv/dt = g - k*v.
# Two competing forces, both per unit mass:
#   gravity  →  +g  (constant, pulls v upward in magnitude)
#   drag     →  -k*v  (proportional to current speed, opposes motion)
g = 9.8

def dvdt(v, k):
    return g - k * v

# At v = 0, drag is zero; gravity is unopposed; full acceleration.
# As v grows, drag grows proportionally; net force shrinks; acceleration
# shrinks. The shrink is the whole point — the system has a built-in
# governor.
[(v, round(dvdt(v, k=0.5), 2)) for v in (0, 5, 10, 15, 19.6, 25)]
# → [(0,    9.8),    free fall — nothing opposing
#    (5,    7.3),    drag has eaten 2.5 of g
#    (10,   4.8),
#    (15,   2.3),
#    (19.6, 0.0),    EQUILIBRIUM — v_t exactly
#    (25,  -2.7)]    above v_t: drag wins, deceleration

종단속도 = dv/dt = 0 풀기

“종착점”은 그저 $dv/dt = 0$ 이 되도록 만드는 $v$ 값이다. 식을 세우고 풀면:

$g − k v_t = 0 → v_t = g / k$

대수 한 줄. 저항이 클수록 (큰 $k$ ) 종단속도는 작아진다 — 깃털은 작은 속도에서 일찍 안정되고, 볼링공은 공기 중에서 $v_t$ 에 닿는 데 영원에 가까운 시간이 걸린다 (실제로는 그 전에 땅에 부딪힌다). 이것이 평형 이다. 서로 맞서는 두 영향이 정확히 상쇄되는 속도. 중력은 $v$ 를 키우려 하고 저항은 깎으려 한다 — $v_t$ 에서 둘의 힘이 같아진다. 힘이 사라진 게 아니라 균형을 이룬 것. 이 차이를 놓치는 게 이 페이지가 잡으려는 가장 흔한 오해다.

식 $v_t = g/k$ 는 깊은 정리가 아니다 — 고정점을 그대로 읽었을 뿐. 어떤 양에 그 양 자체에 따라 변하는 두 영향이 맞서고 있을 때면 어디서나 똑같은 모양이 나타난다. 시원한 방에서 식어가는 커피는 방 온도에 가까워지고, 저항을 거쳐 충전되는 축전기는 공급 전압에 가까워지고, 크기에 비례하는 출생률·사망률을 가진 인구는 환경수용력 (carrying capacity) 에 가까워진다. 물리는 달라도, 찾는 건 같은 고정점이다.

# Solve dv/dt = 0 for terminal velocity. One line of algebra.
#   g - k*v_t = 0  →  v_t = g/k.
def terminal_velocity(k, g=9.8):
    return g / k

# Linear-drag terminal velocities for a few familiar k values.
[(name, k, round(terminal_velocity(k), 1))
 for name, k in (("feather", 6.0), ("raindrop", 1.6),
                 ("skydiver", 0.4), ("bowling ball", 0.05))]
# → [('feather',      6.0,  1.6),     reaches ~1.6 m/s in well under a second
#    ('raindrop',     1.6,  6.1),
#    ('skydiver',     0.4, 24.5),     classic ~50 mph free-fall figure
#    ('bowling ball', 0.05, 196.0)]   approaches very slowly, in practice
#                                      it'd hit the ground long before
# Real raindrops sit closer to 9 m/s because actual drag is closer to
# v² than v; the linear case is a teaching simplification.

다가감은 점근적 — 그리고 지수적

정지에서의 닫힌 형식 해는

$v(t) = v_t · (1 − e^(−k t))$

종단속도와의 오차 — 격차 $v_t − v(t)$ — 는 $v_t · e^(−k t)$ 로 지수적으로 줄어든다. $t = \ln 2 / k ≈ 0.693/k$ 초가 지나면 오차가 절반. $5/k$ 초가 지나면 오차는 $v_t$ 의 1% 아래로 떨어진다. 위젯에서 그대로 보인다. 저항 슬라이더를 위로 (큰 $k$ ) 올리면 곡선이 1초도 안 돼 점근선에 들러붙고, 아래로 내리면 몇 초에 걸쳐 천천히 올라간다.

왜 지수일까? 오차 $ε(t) = v_t − v(t)$ 를 미분해 보면 $dε/dt = −dv/dt = −(g − kv) = −k ε$ . 오차가 변하는 비율이 오차 자체에 비례하고, 부호는 음수다. 지수 감쇠의 전형적인 모양. 자기 자신에 비례하는 비율로 변하는 양은 결국 모두 지수가 된다 — 로그 모듈에서는 같은 사실을 반대편에서 부른다. 선형 저항 낙하, 축전기 충전, 방사능 붕괴, 뉴턴 냉각 법칙 — 같은 식, 같은 답.

# Closed-form solution from rest, by separation of variables.
#   v(t) = v_t * (1 - exp(-k*t))
# At t = 0, v = 0 (rest). As t → ∞, v → v_t. Half of v_t is reached at
# t = ln(2)/k ≈ 0.693/k. After 5 'time-constants' (5/k seconds), v is
# within 1% of v_t.
def v_of_t(t, k, g=9.8):
    return (g / k) * (1 - math.exp(-k * t))

[(t, round(v_of_t(t, k=0.4), 2)) for t in (0, 1, 3, 5, 10, 20)]
# → [(0,   0.0),
#    (1,   8.1),     a third of v_t
#    (3,  17.1),     two-thirds
#    (5,  21.2),     ~87% of v_t = 24.5
#    (10, 24.0),     ~98%
#    (20, 24.5)]     within 0.001
# Same shape as a charging capacitor, a heating cup of coffee, a leaky
# bucket — every first-order linear ODE with a stable fixed point traces
# this curve. The terminal value is the fixed point; k is the rate at
# which deviation from the fixed point decays.

종단속도는 결국 얼마나 빠르게 떨어지는지를 알려줄 뿐이다. 다음 질문은 자연스럽게 t초 동안 얼마나 떨어졌는가? — 이건 적분이 답한다. $v(t)$ 를 알면 거리는 속도가 쌓인 양이 된다: $y(t) = ∫_0^t v(s) ds$ . 0부터 $t$ 까지 속도 곡선 아래의 넓이가 그때까지 떨어진 거리다. $v(s) = v_t · (1 − e^(−k s))$ 를 대입하면 닫힌 형식 — $y(t) = v_t · t − (v_t/k)(1 − e^(−kt))$ — 이 나온다. 식에서 두 가지 영역이 그대로 읽힌다. 작은 $t$ 에서는 곡선이 $v_t · t$ 직선 아래에 놓인다 (처음부터 종단속도로 떨어진 게 아니니까). 큰 $t$ 에서는 격차가 더 자라지 않고 $y(t)$ 가 $v_t · t − v_t/k$ 에 가까워진다 — 종단속도 × 시간에서 “종단속도까지 가속하는 데 든 시간”을 빼는 상수 오프셋이 남는 셈.

이제 깨봐

실제 빗방울은 이차 저항을 따른다. $F_drag = \tfrac{1}{2} ρ C_d A v²$ : 힘이 속도의 1차가 아니라 제곱에 비례해 자란다. 종단속도를 구하는 논리는 그대로다 — $dv/dt = 0$ 을 풀어 $g = k v_t²$ , $v_t = \sqrt{g/k}$ — 다만 다가가는 모양은 더 이상 깔끔한 지수가 아니고 수치도 달라진다. 선형 저항의 $v_t = g/k$ 는 저속·소형 (낮은 레이놀즈 수) 에 맞춘 교육용 단순화일 뿐. 답의 형태 (힘 균형 자리의 점근선) 는 어떤 저항 법칙에서도 똑같지만, 닫힌 형식은 달라진다.

종단속도는 최대값이 아니다 — 평형이다. 중력은 일정한 힘, 저항은 속도에 따라 자라는 힘. 둘이 균형을 이루는 자리에서 $dv/dt = 0$ , 속도는 더 이상 변하지 않는다. 식 $dv/dt = g − kv$ 가 “낙하는 왜 평탄해질까?”라는 물음을 ” $g − kv = 0$ 의 고정점은 어디인가?”로 바꿔 놓고, 답은 대수 한 줄로 끝난다.

exercises · 손으로 풀기

1위젯 읽기 · 점근선에서 종단속도 읽기

위젯에서 빗방울 프리셋 ( $k = 1.6$ ) 을 눌러 보자. 점선 점근선에서 계산 없이 종단속도를 눈으로 읽어 본 뒤, $v_t = g/k$ 와 $g = 9.8$ 로 식에서 다시 확인한다.

2dv/dt = 0을 손으로 풀기계산기 없이

$g = 10 m/s²$ , $k = 0.5 / s$ 일 때 종단속도는? 이번에는 $k$ 를 두 배 ( $1.0$ ) 로 키우면 $v_t$ 는 어떻게 바뀌나? 절반 ( $0.25$ ) 으로 줄이면?

3v_t 위/아래에서 dv/dt 부호

$g = 9.8$ , $k = 0.4$ 일 때 종단속도는 $v_t = 24.5 m/s$ . 세 가지 속도, $v = 10 m/s$ , $v = 24.5 m/s$ , $v = 40 m/s$ 에서 $dv/dt$ 를 계산하라. 각각의 부호는 무엇을 말해 주는가?

4사악한 것 · '중력이 사라졌다'

한 학생이 종단속도로 떨어지는 빗방울을 보고 이런 결론을 내린다: “방울이 가속하지 않으니까, 중력은 더 이상 작용하지 않는 거다.” 한 문장으로 반박하라. 올바른 그림은 무엇인가?

5거리는 v(t) 아래 면적

길이가 같은 두 구간, 둘 다 $1 s$ 다 — 하나는 낙하 초반 ( $t = 0$ 에서 $1$ ), 다른 하나는 후반 ( $t = 10$ 에서 $11$ , 그쯤이면 $v(t)$ 는 사실상 $v_t$ ). $k = 0.4$ , $v_t = 24.5 m/s$ . 각 구간에서 떨어진 거리를 계산하라. 같은 시간인데 후반 구간이 더 많이 떨어지는 이유는?

왜 교과서는 이렇게 안 가르치나

입문 물리는 다루기 쉬운 자유낙하 (저항 없음) 만 가르친 뒤, “실제 낙하에는 공기 저항이 있어서 복잡하다”라고 손사래를 친다. 그 복잡함은 식 하나에 항 하나가 더 붙는 것뿐이다: $dv/dt = g − kv$ . 이 한 줄에서 종단속도는 대수 한 줄 ( $g = kv_t$ ) 로 나오고, 다가가는 모양은 적분 한 줄 ( $v(t) = v_t(1−e^(−kt))$ ) 로, 그리고 충전되는 축전기·식어가는 커피와의 연결은 한 문단으로 끝난다. Lemma는 식을 독자 눈앞에 그대로 둔다 — 물리는 거기서 진짜로 일어나기 때문이다. 교과서 사이드바를 채우는 “흔한 종단속도 표” 같은 데가 아니라. 종단속도는 빗방울에 관한 사실이 아니다. 안정한 고정점을 가진 모든 1계 시스템에 관한 사실이다.

용어집 · 이 페이지에서 쓰임 · 7

fixed point·고정점

함수 또는 갱신 규칙을 통과해도 그대로인 값. 반복 `x ← f(x)`에서 고정점 `x*`는 `f(x*) = x*`를 만족 — 규칙을 한 번 더 적용해도 아무것도 바뀌지 않는다. 미분방정식 `dx/dt = g(x)`에서는 `g(x*) = 0`이 되는 자리 — 시스템이 더 진화하지 않는 곳. 물리의 _평형_, 최적화의 _최솟값_, 수치해석의 *정상상태*가 모두 같은 대상을 이름만 바꿔 부른 것 — _다음 스텝이 자기 자리로 돌아오는 자리_. 두 종류가 중요하다 — _안정_ (작은 교란이 사라지고 시스템이 돌아옴) 과 _불안정_ (작은 교란이 자라고 시스템이 벗어남). 둘을 가르는 건 국소 도함수 `g'(x*)`의 부호.

velocity·속도

위치의 변화율. 벡터 — 크기 (속력)와 방향을 모두 가진다. 1차원에서 `v = dx/dt`, 2차원에서는 속도 벡터가 `(dx/dt, dy/dt)` 성분을 갖는다. 시간에 따라 변하지 않는 속도는 *균일*하다고 하며, 그때 위치는 시간에 선형. 속도가 변한다는 건 가속도가 0이 아니라는 뜻. _속력_ (수)과 _속도_ (벡터) 의 구분은 "빠르다"와 "어느 방향으로 빠르다"의 차이다.

acceleration·가속도

속도의 변화율. 역시 벡터. 1차원에서 `a = dv/dt = d²x/dt²`. 가속도가 일정하면 속도는 시간에 선형, 위치는 이차. 뉴턴의 제2법칙 `F = ma`는 힘과 가속도가 비례한다고 말하며, 질량이 변환 상수. 지표면 근처에서 자유낙하하는 _어떤_ 물체든 가속도는 거의 일정하고, 그 값은 *물체의 질량과 무관*하다 — 한 숫자로 다 대신할 수 있다.

drag·공기 저항

유체 (공기, 물) 가 그 속을 움직이는 물체에 가하는 _운동에 반대되는_ 힘. 일상 물리에서 두 영역이 중요: 저속에서 (또는 작은 물체) 저항은 대략 속도에 비례 — `F_drag = k v`, _선형 저항_ 또는 _스토크스 저항_. 고속에서 (또는 큰 물체) 는 대략 속도 제곱에 비례 — `F_drag = ½ ρ C_d A v²`, _이차 저항_ 또는 _형상 저항_. 비례 상수는 단면적, 유체 밀도, 모양을 모두 흡수한다. Lemma의 종단속도 페이지는 깨끗한 닫힌 형식 수학을 위해 선형 케이스를 쓴다. 실제 빗방울과 낙하산은 이차 영역에 있지만 답의 _모양_ (힘 균형 속도로의 점근적 접근) 은 같다.

vector·벡터

크기와 방향을 모두 가진 양. 구체적으로는 수의 튜플 — 2D에서 `(3, 4)`, 3D에서 `(1, 0, −2)` — 이지만, 그 수가 *무엇을 의미하는가*는 무엇을 하느냐에 따라 다르다. 그래픽에서는 제어점의 오프셋, 물리에서는 속도나 힘, ML에서는 매개변수 갱신이나 특징 표현. 튜플은 _같다_. *역할*이 다르다. 산술 — 성분별 덧셈, 수로의 스칼라배 — 은 모든 역할에서 _같기_ 때문에, 한 벌의 수학이 모두를 받친다.

terminal velocity·종단속도

낙하하는 물체가 공기 저항이 중력과 정확히 균형을 이룰 때 다가가는 일정한 속도. 어떤 의미에서 _최대_ 속도가 아니라 — 알짜힘이 0이라 가속도가 0이고, 따라서 속도가 변하지 않게 되는 속도. 선형 저항 `F_drag = k v`, 질량 `m`이면 종단속도는 `v_t = mg / k` (또는 단위 질량당 형식 `dv/dt = g − kv`에서 `g/k`). *상한선*이 아니라 *점근선*이다: 아래에서 출발하면 점근적으로 `v_t`에 다가가고, 위에서 출발하면 (예: 아래로 던진 돌) 점근적으로 같은 값으로 *감속*한다. 빗방울, 낙하산, 먼지 알갱이 모두 낙하 전 구간을 이 점근 영역에서 보낸다.

equilibrium·평형

상반된 영향들이 정확히 상쇄되어 시스템이 더 이상 변하지 않는 상태. _역학적_ 평형: 알짜힘이 0이라 가속도가 0 (뉴턴 1법칙). _화학적_ 평형: 정반응과 역반응 속도가 같아 농도가 안정. _경제적_ 평형: 공급과 수요 가격이 일치해 시장 가격이 표류를 멈춤. 공통의 모양: 어떤 양에 그 양 자체에 의존하는 두 경쟁 영향이 있고, 둘이 균형을 이루는 *고정점*이 평형이다. 종단속도는 `dv/dt = g − kv`의 평형 — "중력이 v를 더하고" "저항이 v를 빼는" 두 영향이 상쇄되는 속도다.