모듈

점은 어디인지를, 벡터는 어떻게 움직일지를 말한다. 같은 튜플이 그래픽·물리·ML에서 네 가지 역할 — 위치·변위·속도·특징 — 을 한다. 두 연산 (더하기와 늘이기) 이 그 모두를 받친다.

움직이는 점은 자취를 남긴다. 미분은 그 자취가 아니다 — 지금 이 순간, 자취가 되려고 하는 화살표다. 할선 기울기가 접선 기울기로 수렴하고, 같은 기계가 기울기·속도·변화율이 된다.

곱셈을 덧셈으로 바꾸는 트릭. 모듈 전체가 한 방정식, 나머지는 따름정리.

확률 하나는 하나의 추측이다. 분포는 불확실성 전체의 *모양*이다. softmax가 만들어내는 것, 히스토그램이 곧 그것인 것, 수익률이 뽑혀 나오는 그것. 모델이 예측하는 양, 포트폴리오가 가진 양 대부분은 수가 되기 전에 분포다.

속도계만 보고 얼마나 멀리 왔는지 알 수 있을까? 적분은 비율을 시간에 대해 합할 때 살아남는 것. 미분의 짝 — 기본정리가 둘이 역연산임을 말한다.

대부분의 식은 어렵다. 어떤 점에서의 접선은 쉽다. 둘을 바꿔치면 진자시계·뉴턴 방법·경사하강법을 받치는 도구가 손에 들어온다 — 어떤 영역에서는 맞고, 그 밖에서는 틀린다. 규율은 그 영역에 있다.

곡선은 그림이 아니다. 세 가지 움직임이 같은 포물선을 칠할 수 있다 — 같은 이미지, 다른 매개변수화. '곡선'이라는 단어가 숨기고 있던 구분을 못박으면, 그 위에 쌓일 도구들 (그래픽, 물리, 애니메이션) 의 자리가 한꺼번에 잡힌다.

20 questions으로 N개 중 하나를 찾는 데 항목이 모두 같은 확률이면 log₂ N번. 엔트로피는 그 일반화 — 확률이 같지 않을 때의 기대 질문 수. Wordle부터 Huffman 압축, 비밀번호 강도까지 모두 부딪히는 한계.

최적화는 *공식을 찾는 것*이 아니다. *좋아져야 할 양*을 정하고, 가능한 선택지 사이를 움직이다가 더 좋아지지 않는 곳에서 멈추는 일이다. 같은 다섯 단계 — 목적, 탐색 공간, 움직임, 스텝 크기, 정지 — 가 ML의 경사하강법, 포트폴리오의 비중 선택, 보정의 온도 적합을 모두 돌린다. 알고리즘은 다르고, 골격은 같다.

두 차수 d, e 곡선은 정확히 d·e 점에서 만난다 — 평면이 세 번 보정된 뒤. 현·접선 작도는 타원곡선 산술을, 그 다음은 비트코인 서명을 받친다.