속도계만 보고, 얼마나 멀리 왔는지 알 수 있을까?

넓이부터 — 일정한 속도의 누적

가장 단순한 경우는 비율이 일정할 때다. $60 km/h$로 $2 h$ 운전하면 $60 × 2 = 120 km$. 속도-시간 그래프로 보면 폭 × 높이의 직사각형 넓이다. 곡선이 일정하지 않을 때도 총 거리는 여전히 속도 곡선 아래 넓이. 이 단순한 경우를 비일정한 비율로 다시 풀어쓰는 것이 모듈 전체의 일이다.

비율이 선형으로 변할 때 — 가만히 있다 떨어뜨린 물체에 중력이 만드는 $v(t) = g · t$가 그 예다 — $[0, T]$에서 직선 아래 넓이는 삼각형이고, 그 넓이가 $(1/2) · T · (g · T) = (g · T²) / 2$. 그게 떨어진 거리. 새로운 물리학도, 새로운 미적분도 필요 없다 — 넓이만으로 풀린다.

리만 합 — 유한 장부질

삼각형이 아닌 곡선은 기하만으로는 넓이가 보이지 않는다. 그러니 근사하자. 구간 $[a, b]$를 폭 $Δx = (b − a)/N$의 $N$개 띠로 자른다. 각 띠 안에서 표본점 하나 — 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중점 중 골라 — 를 잡고 그 한 값을 띠의 “일정한” 높이로 쓴다. 띠의 넓이를 모두 더한다. 그 결과가 리만 합 이다:

$S_N = Σ f(x_i) · Δx$

위 위젯이 이걸 직접 보여준다. $f(x) = x²$를 $[0, 1]$에서 골라 N을 올려보자. $N = 1$에선 직사각형이 우스울 정도로 틀리고, $N = 8$에선 알아볼 만해지고, $N = 80$에선 정확값 $1/3$과의 격차가 보이지 않는다. 규칙을 (왼쪽/오른쪽/중점) 어떻게 잡든 같은 극한에 다가가지만 다가가는 속도는 다르다 — 왼/오른은 $O(1/N)$, 중점은 $O(1/N²)$. 그래서 수치 적분기는 모두 중점 이상을 고른다.

# Riemann sum — turn 'area under the curve' into a finite computation.
# Chop [a, b] into N strips, evaluate f once per strip, multiply by Δx,
# add. Three rule choices give different errors at the same N.
def riemann(f, a, b, n, rule="midpoint"):
    dx = (b - a) / n
    s = 0.0
    for i in range(n):
        if   rule == "left":     x = a + i * dx
        elif rule == "right":    x = a + (i + 1) * dx
        else:                    x = a + (i + 0.5) * dx
        s += f(x) * dx
    return s

# ∫_0^1 x² dx — the exact answer is 1/3 ≈ 0.333.
[(rule, riemann(lambda x: x*x, 0, 1, n=20, rule=rule))
 for rule in ("left", "right", "midpoint")]
# → [('left',     0.30875),    a bit under 1/3
#    ('right',    0.35875),    a bit over 1/3
#    ('midpoint', 0.333125)]   essentially exact at N=20
# Midpoint converges as ~1/N², the others as ~1/N. That's why every
# practical numerical integrator picks midpoint or higher (Simpson, Gauss).

정적분 — 리만 합의 극한

정적분 은 극한에 살아남는 것:

$∫_a^b f(x) dx = \lim_(N → ∞) Σ_{i=1}^N f(x_i) · Δx$

하나의 수 — 누적된 총량이다. 이 표기는 리만 이전부터 쓰였다. $∫$ 기호는 “sum”의 S를 길게 늘인 모양이고, $dx$는 극한이 줄여낸 $Δx$의 후손이다. "$∫_a^b f(x) dx$"를 “$a$에서 $b$까지 $f(x)$ 곱하기 아주 작은 $dx$들의 합”으로 읽는 건 정확한 직관이다 — 리만 이전 뉴턴과 라이프니츠가 쓰던 직관이기도 하다.

위젯의 “정확한 적분” 칸이 바로 이 값이다 — 닫힌 형식으로 계산했다 (쉬운 함수를 골랐기 때문에). 현실의 대부분의 함수에서는 극한을 수치적으로 잡을 수밖에 없고, 컴퓨터가 적분을 실제로 계산하는 방식이 어떤 형태로든 결국 리만 합이다.

원시함수 — 미분의 역연산

적분이 미분과 만난다. 미분 모듈에서 $F(x) = x³$를 미분하면 $F'(x) = 3x²$. 거꾸로 읽으면 — $3x²$는 원시함수를 갖는다 — 그것이 $x³$. $f$의 원시함수 는 $F'(x) = f(x)$를 만족하는 임의의 함수 $F$.

원시함수는 유일하지 않다 — $x³$도 $x³ + 5$도 둘 다 미분하면 $3x²$가 된다. 어떤 상수 $C$를 더해도 미분값이 변하지 않기 때문이다. 그래서 교과서가 $F(x) + C$라고 적는 것이다. 한 $f$의 원시함수 전체는 한 매개변수 가족 — 서로 평행 이동된 함수들의 모임이다.

다항식이라면 규칙이 기계적이다. $x^n$의 미분이 $n · x^(n−1)$이니, $x^n$의 원시함수는 $x^(n+1) / (n+1)$. 공식의 장부를 거꾸로 뒤집은 것이다. $\sin x$의 원시함수는 $−\cos x$, $e^x$의 원시함수는 $e^x$ (출발한 자리 그대로). 이 짧은 목록과 연쇄법칙만으로 실무에서 만나는 적분의 대부분이 처리된다.

# Antiderivative — the function whose derivative is f.
# For polynomials, the rule is mechanical: x^n → x^(n+1)/(n+1).
# But the antiderivative isn't unique — F(x) and F(x) + 5 both differentiate
# to the same f. The +C is a fixed point of the operation.
def antideriv_poly(coeffs):
    """Coefficients of polynomial Σ c_i x^i → coeffs of antiderivative
       Σ c_i x^(i+1)/(i+1).  The constant C is dropped (you supply it)."""
    return [0.0] + [c / (i + 1) for i, c in enumerate(coeffs)]

# f(x) = 3x² + 2x + 1  →  F(x) = x³ + x² + x  (+ C)
antideriv_poly([1, 2, 3])
# → [0.0, 1.0, 1.0, 1.0]   coefficients of x⁰, x¹, x², x³

기본정리 — 넓이 = 미분의 역

두 이야기 — 곡선 아래 넓이와 미분의 역연산 — 가 알고 보면 같은 이야기다. 미적분학의 기본정리 가 그 다리다:

$∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)$

— 어떤 원시함수 $F$를 잡아도 성립한다. 리만 합의 무한 극한이 함수 평가 두 번과 뺄셈 한 번으로 줄어든다. 손으로 풀든 계산기로 풀든, 대부분의 정적분은 이렇게 계산한다. 리만 극한이 적분의 정체라면, FTC는 적분의 계산법이다.

포물선 운동을 보자. 속도가 $v(t) = g · t$면 원시함수는 $(g · t²) / 2$. FTC에 따라 $0$에서 $T$까지 떨어진 거리는 $(g · T²)/2 − 0 = (g · T²) / 2$ — § 1에서 기하로 읽어냈던 그 삼각형 넓이가, 이번에는 원시함수에서 유도된다. 두 길, 한 수.

기본정리의 나머지 반쪽 — $(d/dx) ∫_a^x f(t) dt = f(x)$ — 이 양방향의 연결을 단단히 죈다. 미분이 적분을 되돌리고, 적분이 미분을 누적한다. 둘은 우연히 같은 장(章)에 묶인 별개의 연산이 아니라, 덧셈과 뺄셈이 서로의 역인 것과 똑같은 의미에서 역이다.

# Fundamental Theorem of Calculus, Part 2:
#   ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)
# for any antiderivative F of f. The infinite limit of Riemann sums
# becomes two function evaluations and a subtraction.
def evaluate_poly(coeffs, x):
    return sum(c * x**i for i, c in enumerate(coeffs))

def integral_via_ftc(coeffs, a, b):
    F = antideriv_poly(coeffs)
    return evaluate_poly(F, b) - evaluate_poly(F, a)

# ∫_0^2 (3t² + 2t + 1) dt — by FTC.
integral_via_ftc([1, 2, 3], 0, 2)
# → 14.0      F(2) − F(0) = (8 + 4 + 2) − 0 = 14
#
# Sanity check via Riemann at N=10000 with the lambda form:
def f(t): return 3*t*t + 2*t + 1
riemann(f, 0, 2, n=10000, rule="midpoint")
# → 13.99999...   matches FTC to four decimals
#
# The Riemann sum 'is what the integral is.' FTC says you almost never
# have to take the limit — pick an antiderivative and subtract.

이게 어디에 나타나나 — 같은 누적, 두 필러

적분은 시간에 걸친 변화를 더한다. 물리에서는 그 변화가 거리가 되고, 금융에서는 현재가치가 된다. 리만 합 그림은 양쪽에서 똑같다 — 더해지는 변화율이 무엇이냐만 다를 뿐.

물리 : 속도가 거리로 쌓이고, 힘×속도가 에너지로 쌓인다.
금융 : 연속 지급 비율이 — 할인된 채 — 현재가치로 쌓인다.

포물선 운동 — 떨어진 거리는 $\int_0^t v(s)\,ds = \tfrac{1}{2} g t^2$. 속도 $v(s) = g \cdot s$가 변화율이고, 그 아래 넓이가 거리다. 위치를 두 번 미분하면 가속도가 나오고, 가속도를 두 번 적분하면 같은 사다리를 거꾸로 올라 위치가 다시 나온다.

종단속도 — 속도가 더 이상 선형이 아니라 점근선으로 휜다. 그래도 떨어진 거리는 여전히 $\int_0^t v(s)\,ds$ — 곡선 아래 넓이, 곡선 모양만 바뀐 것. 같은 누적, 더 어려운 모양.

감쇠 진동자 — 사인 구동에서 평균 일률은 $\langle F \cdot \dot{x} \rangle$, 한 주기에 걸친 적분이다. 피크 — 공명 — 은 정확히 이 적분이 가장 클 때다. 공명에서 벗어나면 더하는 기여와 빼는 기여가 적분 안에서 상쇄된다.

현재가치 — 연속 현금흐름 비율 $c(t)$의 현재가치는 $PV = \int_0^T c(t) e^{-rt}\,dt$. 할인계수 $e^{-rt}$가 각 미래 시점을 줄인 다음에야 적분이 합산한다. 시간에 걸친 돈은 구조적으로 시간에 걸친 속도와 같다 — 변화율, 누적된 것.

이름은 달라도 같은 일이다 — 물리에서는 거리, 금융에서는 현재가치. 둘 다 변화율 곡선 아래 넓이이고, 어떤 변화율인지는 응용이 정한다.