응용

두 이차곡선을 움직인다. 어떤 때는 교점 네 개가 보이고, 어떤 때는 두 개, 어떤 때는 하나도 안 보인다. 베주 정리는 여전히 네 개라고 말한다. 사라진 교점들은 어디로 갔고, 그래픽 엔진은 그것을 어떻게 다룰까?

손실 압축은 엔트로피에 매이지 않는다 — 무엇을 버릴지를 고른다. JPEG는 기저를 바꿔 (DCT) 그림이 희소해지게 만들고, 의미 없는 좌표를 버리고 (양자화), 나머지를 Huffman으로 묶는다. 세 단계, 하나의 절약: 적은 계수, 작은 값, 긴 0의 연속.

같은 크기의 이미지 두 장 — 하나는 줄고 하나는 안 줄어든다. 히스토그램이 절반을 말하고, 공간 구조가 나머지를 말한다. 엔트로피 모듈이 바닥을 명명하고, 이 페이지는 그 바닥이 묶지 못하는 것을 보여준다.

디자이너가 손잡이 네 개를 움직인다. 캐릭터의 볼이 매끄러워지고, 자동차 보닛이 휘고, 글자의 곡선이 잡힌다. 컴퓨터는 점 몇 개를 어떻게 매끄러운 길로 바꿀까?

내버려 둔 진자는 느려지다 멈춘다. 같은 진자를 박자에 맞춰 밀면 점점 더 크게 흔들린다. 한 식 ẍ + 2γ·ẋ + ω₀²·x = F(t) 이 둘 다를 돌린다. 감쇠가 어떻게 멈출지를 정하고, 공명이 외부 밀기가 언제 이길지를 정한다.

진폭을 두 배로 키웠는데, 왜 시계는 거의 같은 시간을 잴까? 실제 진자의 주기는 진폭에 의존한다 — 단, 작은 흔들림에서는 거의 의존하지 않는다. sin θ ≈ θ로 선형화하면 주기가 상수가 된다. 시계는 그 근사 위에 서 있다.

중력은 계속 당기는데, 빗방울은 끝없이 빨라지지 않는다. 이유는 한 줄짜리 1계 방정식 — 미분이 속도에 비례해 자라는 힘과 균형을 이루는 자리. 종단속도는 최대값이 아니라 평형이다.

공을 던진다. 공기저항은 무시한다. 가로 방향은 시간을 그대로 가고, 세로 방향은 중력에 진다. 왜 그 결과가 포물선일까?

모델이 틀렸다. 얼마나 틀렸는지는 잴 수 있다. 그런데 어떤 손잡이를 어느 방향으로 얼마나 움직여야 할까? 미분이 방향을, 학습률이 거리를 정한다. 반복. 그 다섯 줄 루프가 모든 현대 ML 모델을 훈련시킨다.

모델은 자신이 맞는지 아는 게 아니다. 점수들이 있을 뿐이다. softmax는 그 점수들을 확률처럼 보이는 수로 바꾸고, 교차 엔트로피는 정답에 부여한 확률을 벌점으로 바꾼다. 함정: 나쁜 점수도 아주 자신만만한 확률이 될 수 있다.

모델이 '70% 확신'이라고 말한다. 그런 예측을 많이 모았을 때 정말 열에 일곱이 맞는다는 뜻일까? 화면 위의 수와 장기적 빈도는 다른 두 양이다. 신뢰도 다이어그램이 그 격차를 보여주고, 단 하나의 스칼라 — 온도 — 가 곡선을 대각선 쪽으로 회전시킨다.

구글은 왜 검색 결과를 그 순서로 보여줄까? 30년 동안 그 결정 규칙은 거의 안 바뀌었다. TF-IDF는 확률의 합처럼 보이는 점수로 문서 순위를 매긴다 — 그 안의 log는 엔트로피의 그 log와 같다. 희귀한 단어는 많은 비트, 흔한 단어는 0에 가까운 비트. Stopword는 목록이 아니라 어떤 함수의 영점이다.

미래의 1달러는 오늘의 1달러가 아니다. 할인과 적분이 모든 현금흐름 — 월세부터 채권, 영구채까지 — 을 한 항등식으로 가격 책정한다. 미래 현금 곱하기 할인계수, 시간에 걸쳐 합산.

2010년 5월 22일, 플로리다의 프로그래머가 파파존스 피자 두 판 값으로 10,000 BTC — 약 $41 — 을 보냈다. 16년 뒤, 그 코인의 가치는 $10억. 역사상 가장 비싼 식사.

위험한 자산 두 개를 섞으면 각자보다 덜 위험할 수 있다. 그 수학은 이차식의 한 교차항이고, 벡터 합의 길이가 부분의 합보다 크거나 작은 이유와 같은 항등식이다. 분산, 공분산, 상관계수 — 수익률의 내적.

비트코인 주소는 누구나 볼 수 있다. 개인키는 아무도 보면 안 된다. 그렇다면 네트워크는 모든 결제를 승인할 수 있는 비밀을 배우지 않고도, 이번 결제가 정말 네가 승인한 것인지 어떻게 확인할까?